کار در کلاس صفحه 124 حسابان دوازدهم
نمودار تابع $f'$ در شکل زیر داده شده است.
$. The graph shows $f'$ starts positive, crosses the $x$-axis at $a, c, e$ and is tangent to the $x$-axis at $b$ and $d$.]
الف) صعودی و نزولی بودن تابع $f$ را در بازه $[s, t]$ بررسی کنید.
ب) نقاط بحرانی $a, b, c, d, e$ کدام ماکزیمم نسبی و کدام مینیمم نسبی‌اند؟
پ) آیا نقاط بازه $(d, e)$ اکسترمم نسبی هستند؟
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 124 حسابان دوازدهم
سلام! این تمرین بر روی استفاده از **آزمون مشتق اول (First Derivative Test)** متمرکز است. در این آزمون، **علامت مشتق ($f'$)**، جهت یکنوایی تابع اصلی ($f$) را تعیین می‌کند. 💡
**قوانین کلیدی:**
* **$f'(x) > 0 \implies f$ صعودی است.**
* **$f'(x) < 0 \implies f$ نزولی است.**
* **$f'(x) = 0 \text{ یا } f'(x) \text{ موجود نیست } \implies x \text{ نقطه بحرانی است.}$**
---
### الف) صعودی و نزولی بودن تابع $f$ در $[s, t]$
ما باید بازه‌هایی را پیدا کنیم که $f'$ در آنجا مثبت یا منفی است:
1. **صعودی بودن ($f' > 0$):**
* نمودار $f'$ **بالای محور $x$** قرار دارد.
$$\mathbf{[s, a] \text{ و } [c, e]}$$ (در $b$ و $d$ مشتق صفر است، اما تابع به صعود ادامه می‌دهد یا ثابت می‌ماند.)
2. **نزولی بودن ($f' < 0$):**
* نمودار $f'$ **زیر محور $x$** قرار دارد.
$$\mathbf{[a, c]}$$
---
### ب) تعیین ماکزیمم و مینیمم نسبی (نقاط بحرانی)
از **آزمون مشتق اول** (تغییر علامت $f'$) استفاده می‌کنیم:
| نقطه بحرانی | علامت $f'$ در چپ | علامت $f'$ در راست | نتیجه |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **a** | $\mathbf{+}$ (صعود) | $\mathbf{-}$ (نزول) | $\mathbf{\text{ماکزیمم نسبی}}$ (قله) |
| **b** | $\mathbf{-}$ (نزول) | $\mathbf{-}$ (نزول) | $\mathbf{\text{اکسترمم نیست}}$ (عطف افقی) |
| **c** | $\mathbf{-}$ (نزول) | $\mathbf{+}$ (صعود) | $\mathbf{\text{مینیمم نسبی}}$ (دره) |
| **d** | $\mathbf{+}$ (صعود) | $\mathbf{+}$ (صعود) | $\mathbf{\text{اکسترمم نیست}}$ (عطف افقی) |
| **e** | $\mathbf{+}$ (صعود) | $\mathbf{+}$ (صعود) | $\mathbf{\text{اکسترمم نیست}}$ (عطف افقی) |
**پاسخ ب:**
* **ماکزیمم نسبی:** $\mathbf{x = a}$
* **مینیمم نسبی:** $\mathbf{x = c}$
---
### پ) آیا نقاط بازه $(d, e)$ اکسترمم نسبی هستند؟
**پاسخ:** **خیر.** ❌
**دلیل:**
1. **تعریف:** یک نقطه $x$ زمانی اکسترمم نسبی است که در آن، تابع از صعودی به نزولی (ماکزیمم) یا از نزولی به صعودی (مینیمم) تغییر کند.
2. **تحلیل بازه $(d, e)$:** در تمام این بازه (به جز نقطه انتهایی $d$ که $f'(d)=0$ است)، $f'$ **مثبت** است (نمودار $f'$ بالای محور $x$ قرار دارد).
3. **نتیجه یکنوایی:** چون $f'(x) > 0$ است، تابع $f$ در این بازه **صعودی اکید** است و هیچ تغییر جهتی رخ نمی‌دهد.
* **توجه:** نقطه $d$ یک نقطه بحرانی است، اما اکسترمم نسبی نیست. نقاط واقع در بازه $(d, e)$ حتی نقاط بحرانی هم نیستند (مشتق صفر نیست و موجود است).
